Не должны вы платить за весь месяц. Помесячная плата – это на время действия договора, А условием прекращения является либо истечение срока, либо прекращение после уведомления ( минимум за месяц).
Тем более, что арендатор возвращает ключ, и вы хозяин может сдавать жилье с того дня. Или по другому использовать его. Ну не с первого же дня следующего месяца, правда?